Geometría Analítica

Rectas perpendiculares

Si dos rectas son perpendiculares, entonces el producto de sus pendientes es igual a -1.

Ejemplo:

Determinar la ecuación de la mediatriz del segmento AB, siendo A (-2,3) y B (4,7).

Entonces aplicamos:

y – y₁ = m (x – x₁)

y – 5 = -3/2 (x -1)

2y – 10 = -3x +3

3x + 2y – 13 = 0 à ECUACIÓN DE LA RECTA

Distancia de un punto a una recta

Sea la recta L: Ax + By + C = 0 y sea el punto P (x,y); la distancia “d” del punto P a la recta L esta dado por:

Ecuación de la recta

I. Ecuación punto pendiente:
Si la recta pasa por el punto P (x,y) y su pendiente es “m”, la ecuación de la recta está dada por la siguiente fórmula:

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la recta I que pasa por el punto P (2,5) y tiene pendiente 3.

y – y₁ = m (x – x₁)

y – 5 = 3 (x – 2)

y = 3x -1 à ECUACIÓN DE LA RECTA

II. Ecuación de la recta que pasa por 2 puntos:

Si la recta pasa por dos puntos P₁ ( x₁,y₁) y P₂ (x₂, y₂) su ecuación es:

III. Ecuación general de la recta:

Donde A, B y C son números reales, además B y C no pueden ser simultáneamente nulos.

Tener en cuenta que:

- Si A = 0 y B ≠ 0, entonces la recta es paralela al eje X.

- Si A ≠ 0, entonces la recta es paralela al eje Y.

- Su pendiente es = - A/B y su ordenada en el origen en b = -C/B

Entonces concluimos que:

- Pendiente = - A/B

- Intercepto en y = -C/B

- Intercepto en x = -C/A

Ángulo de inclinación y pendiente de una recta 2

Nota:

Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer el ángulo.

Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso, la pendiente es negativa y decrece al crecer el ángulo.

Ángulo de inclinación y pendiente de una recta 1

Definición de ángulo de inclinación:

Es el ángulo que forma el segmento (o su prolongación) con el eje X, medido en sentido anti – horario y considerando el eje X como lado inicial.

Definición de pendiente (m):

Es la tangente del ángulo de inclinación

Fórmula para hallar la pendiente:

Ejercicio:

Calcula la pendiente de la recta que pase los por puntos A (2,1) y B (7,2)

Si la pendiente es 1/5, ¿Cuál es el ángulo de inclinación?

En la calculadora se halla:

SHIFT tan^-1(1/5) à 11° 18’ 76’’

Ángulos colineales:

Para saber si dos segmentos son colineales, se debe comprobar que sus pendientes son iguales.

Angulos De InclinacióN Y Pendientes De Una Recta

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Calcular áreas en el plano cartesiano

Para calcular el área de un polígono en función de las coordenadas de sus vértices se aplica la siguiente fórmula. (Observar el dibujo)

Ejercicio:

Multiplicamos

Restamos y dividimos

División de un segmento según una razón dada

Definición:
Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r: