Si dos rectas son perpendiculares, entonces el producto de sus pendientes es igual a -1. Ejemplo:
Determinar la ecuación de la mediatriz del segmento AB, siendo A (-2,3) y B (4,7).
Entonces aplicamos:
y – y1 = m (x – x1)
y – 5 = -3/2 (x -1)
2y – 10 = -3x +3
3x + 2y – 13 = 0 à ECUACIÓN DE LA RECTA
Distancia de un punto a una recta
Sea la recta L: Ax + By + C = 0 y sea el punto P (x,y); la distancia “d” del punto P a la recta L esta dado por:
Ejemplo:
Hallar la ecuación de la recta I que pasa por el punto P (2,5) y tiene pendiente 3.
y – y1 = m (x – x1)
y – 5 = 3 (x – 2)
y = 3x -1 à ECUACIÓN DE LA RECTA
II. Ecuación de la recta que pasa por 2 puntos:
Si la recta pasa por dos puntos P1 ( x1,y1) y P2 (x2, y2) su ecuación es:
III. Ecuación general de la recta:
Donde A, B y C son números reales, además B y C no pueden ser simultáneamente nulos.
Tener en cuenta que:
- Si A = 0 y B ≠ 0, entonces la recta es paralela al eje X.
- Si A ≠ 0, entonces la recta es paralela al eje Y.
- Su pendiente es = - A/B y su ordenada en el origen en b = -C/B
Entonces concluimos que:
- Pendiente = - A/B
- Intercepto en y = -C/B
- Intercepto en x = -C/A
Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer el ángulo.
Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso, la pendiente es negativa y decrece al crecer el ángulo.
Es el ángulo que forma el segmento (o su prolongación) con el eje X, medido en sentido anti – horario y considerando el eje X como lado inicial.
Definición de pendiente (m):
Es la tangente del ángulo de inclinación
Fórmula para hallar la pendiente:
Ejercicio:
Calcula la pendiente de la recta que pase los por puntos A (2,1) y B (7,2)
Si la pendiente es 1/5, ¿Cuál es el ángulo de inclinación?
En la calculadora se halla:
SHIFT tan-1 (1/5) à 11° 18’ 76’’
Ángulos colineales:
Para saber si dos segmentos son colineales, se debe comprobar que sus pendientes son iguales.
Ejercicio:
Multiplicamos
Restamos y dividimos
Fórmula:
Ejercicio:
Sean dos puntos A (-2,1) y B (8,6). Hallar las coordenadas del punto P que divide al segmento AB tal que AB es a PB como 2 es a 3.
Ejercicio:
Uno de los extremos de un segmento es el punto (1,5) y su punto medio es (5,3). Hallar las coordenadas el otro extremo.
Hallamos las coordenadas, dado el punto medio:
Ejemplo:
Si P1 = (7, 5) y P2 = (3, 1). Hallar d (P1, P2). P1 = (x1, x2) y P2 = (y1, y2)
Entonces reemplazar las incógnitas por los números en la fórmula.
Ejercicio:
Aplicamos la fórmula.
· AC= √3²+(1-y)²
· BC=√6²+(4-y)²
Entonces igualamos porque AC y BC deben tener la misma distancia.
9+(1-y)² = 36+(4-y)²
Luego despejamos: Y =7
2. Demostrar que al unir los puntos A(0,1), B(3,5), C(7,2) y D(4,-2).
AB=BC=CD=DA y BD=AC por ser un cuadrado.
Entonces comprobemos.
§ Comprobamos dos lados:
AB =√(0-3)²+(1-5)² =5 cm
DA=√(4-0)²+(-2-1)² =5 cm
§ Comprobamos las diagonales:
BD =√(3-4)²+(5+2)² =5 cmMétodo para definir la posición de un punto por medio de su distancia perpendicular a dos o más líneas de referencia.
Geometría plana:
Dos líneas rectas, llamadas eje x y eje y, forman la base de un sistema de coordenadas Cartesianas en dos dimensiones. Por lo general, el eje x es horizontal y el eje y es perpendicular a él. Al punto de intersección de los dos ejes se le llama origen (O). Cualquier punto en este plano se puede identificar por un par ordenado de números que representan las distancias a los dos ejes.
Curiosidad:
Este sistema fue desarrollado por el matemático Descartes durante una enfermedad. Estando en la cama, vio a una mosca volando en el techo, el cual estaba recubierto de baldosas cuadradas. Observando se dio cuenta que el podía describir la ubicación de la mosca según la baldosa en la cual ésta se encontraba. Después de esta experiencia, Descartes desarrolló el plano de coordenadas para facilitar la descripción de la ubicación de objetos.
Par ordenado
Definición:
Corresponde a dos números o figuras encerradas en un paréntesis. Su representación general es: (x , y)
Plano cartesiano:
Todo par ordenado escrito con números representa un punto del plano, donde la primera componente (el primer número) recibe el nombre de abscisa (eje x) y la segunda componente recibe el nombre de ordenada (eje y).
